interaktive Lerneinheit für Klasse 8: Lineare Gleichungen
© 12-2000 Hans-Dieter Mallig (hdm)

  Äquivalenzumformungen

Auf der vorhergehenden Seite haben wir erfahren, was wir mit einer Gleichung machen dürfen, um sie in eine äquivalente Gleichung, eine Gleichung mit derselben Lösungsmenge zu verwandeln. Das fassen wir hier zusammen:
 
 *  Wir dürfen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die gültigen Rechengesetze (wie z.B. Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Klammerregeln) anwenden und die Terme vereinfachen.
 *  Wir dürfen auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren.
 * Wir dürfen auf beiden Seiten Variablen in gleicher Anzahl addieren oder subtrahieren.
 * Wir dürfen beide Seiten mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren. (nicht mit dcr 0)
 * Die Lösungsmenge bleibt bei diesen sogenannten  Äquivalenzumformungen gleich.
 
 Da diese  Umformungen eine Gleichung der Form   x = 17 (links die Variable, rechts eine Zahl) zum  Ziel  haben, sollte sie man   in einer sinnvollen Reihenfolge anwenden:
 
 1. 
Wir vereinfachen und fassen zusammen, falls möglich.
 
 2.
 Alle Variablen kommen auf eine Seite. 
 
 3.
Die lockerer mit x verknüpften Teile bringen wir zunächst auf die andere Seite (Strichrechnung bindet schwächer als Punktrechnung), indem wir 
 
 4. die gegenteilige Rechenoperation ausführen.
( steht in der Gleichung + 7, rechnet man - 7; steht  · 5, rechnet man : 5)  usw
 
Wir wollen rechts an einem Beispiel genau 
verfolgen, wie eine Gleichung schrittweise 
vereinfacht wird. Schaue es dir ganz genau 
an. Dabei schreiben wir rechts, hinter einem 
Trennstrich, immer einen Hinweis auf das, 
was man auf beiden Seiten rechnen muss, 
um zur nächsten Zeile zu gelangen. 
4(x - 3) - 5 = 9 - 2 ( x + 1)
       | vereinfachen
4x - 12 - 5 = 9 - 2x - 2
       | zusammenfassen
4x - 17 = 7 - 2x
       | + 2x
6x - 17 = 7
       | + 17
6x = 24
       | : 6 oder | · 1/6 
x = 4
L = { 4 }
 
Du kannst dir weitere Beispiele wie rechts oben anschauen,  selbst ( mit Kontrolle in der Dialogbox) Beispiele rechnen (I und II) und zahlreiche Beispiele mit der Textwechsel-Hilfe wählen oder dir eine zufällige Aufgabe zuweisen lassen. Mit einem  Trainer kannst du überprüfen, ob du beim Vereinfachen mit der richtigen Möglichkeit beginnst oder mit einem anderen Trainer deine inzwischen erworbenen Fähigkeiten anhand des richtigen Endergebnisses testen. Außerdem gibt es einen Lückentext zur Lernzielkontrolle.


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